Home \ Vzdelanie a Komunikácia
 

Ako nakresliť graf kvadratickej rovnice.

 

Pri zostrojenie grafu kvadratickej rovnice vo forme ax + bx + c alebo a (x - h) + k dostanete peknú krivku v tvare normálneho alebo obráteného písmena U, ktorá sa nazýva parabola. Znázornenie kvadratickej rovnice vyžaduje nájdenie jej vrcholu, zistenie smeru, a v mnohých prípadoch tiež prienikov s osami x a y. V prípade jednoduchej kvadratickej rovnice môže postačiť aj dosadiť pár hodnôt x a nakresliť krivku na základe výsledných bodov. Pokračujte k prvému kroku návodu a začnite.

                 

Postup .

    
     
  1.            1      Zistite, akú formu má vaša kvadratická rovnica. Kvadratická rovnica môže byť zapísaná v troch formách: v štandardnom tvare, vrcholovom tvaru a kvadratický tvaru. Každú z nich možno využiť na zostrojenie grafu, postupy sa však u každej z foriem mierne líšia. Ak riešite domácu úlohu, zvyčajne budete mať zadanie v jednom nasledujúcich tvarov (inak povedané, nebudete si môcť vybrať, takže musíte chápať oba postupy). Dva najnežnejšej tvary zadanie kvadratickej rovnice sú: 
       
    •   Štandardné tvar. V tejto podobe je kvadratická rovnica zapísaná ako: f (x) = ax + bx + c, kde a, b i c sú reálni čísla, pričom a nie je rovné 0.  
         
      • Dva príklady kvadratickej rovnice môžu vyzerať takto: f (x) = x + 2x + 1, alebo f (x) = 9x + 10x -8.
      •  
       
    •  
    •   Vrcholový tvar. V tejto podobe je kvadratická rovnica zapísaná ako: f (x) = a (x - h) + k, kde a, HIK sú reálne čísla, pričom a nie je rovné 0. Vrcholový tvar sa volá vrcholový preto, že vám čísla hak udávajú priamo vrchol (stredový bod) paraboly, ktorý leží v bode (h, k).  
         
      • Dva príklady vrcholovej formy rovnice môžu vyzerať takto: f (x) = 9 (x - 4) + 18, alebo -3 (x - 5) + 1
      •  
       
    •  
    • Pre zobrazenie každého z týchto typov rovnice musíme najprv nájsť parabolu, ktorá je centrálnym bodom (h, k) na "špičke" krivky. Súradnice vrchole sú zvyčajne udané ako: h = -b / 2a a k = f (h), pričom vo vrcholovom tvaru sú h aj k zadané.
    •  
           
  2.  
  3.             2      Definujte neznáme. Aby bolo možné kvadratický príklad vyriešiť, musí byť obvykle definované neznáme a, b aj c (alebo a, h a k). Bežný algebraický príklad bude mať tieto neznáme dosadené zvyčajne v štandardnom tvare, občas však aj v tom vrcholovom. 
       
    • Napríklad v štandardnom tvare rovnice f (x) = 2x + 16x + 39 máme a = 2, b = 16 a c = 39.
    •  
    • Vo vrcholovom tvare rovnice f (x) = 4 (x - 5) + 12 máme a = 4, h = 5 a k = 12.
    •  
           
  4.  
  5.             3      Spočítajte h. Vo vrcholovom tvare rovnice je h už zadané, v štandardnom tvare ho však musíte dopočítať. Pamätajte si, že pre štandardný tvar rovnice platí h = -b / 2a. 
       
    • V našom príklade štandardného tvaru (f (x) = 2x + 16x + 39) je teda h = -b / 2a = -16/2 (2). Dopočítáním dostaneme h = -4 .
    •  
    • V príklade s vrcholovým tvarom (f (x) = 4 (x - 5) + 12) vieme bez počítania, že h = 5.
    •  
           
  6.  
  7.             4      Spočítajte k. Rovnako ako h, aj k už vo vrcholovom tvare poznáme. Pre štandardné tvar rovnice si pamätajte, že k = f (h). Inými slovami, k zistíte tak, že za každé x v rovnici dosadíte nájdenú hodnotu h. 
       
    • V príklade sa štandardným tvarom rovnice sme zistili, že h = -4. K nájdeniu k treba vyriešiť rovnicu s hodnotou h dosiahnutú za x:  
         
      • k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.
      •  
      • k = 2 (16) - 64 + 39.
      •  
      • k = 32 - 64 + 39 = 7  
      •  
       
    •  
    • U príklade s vrcholovým tvarom rovnice potom opäť bez počítania vieme, že je hodnota k rovná 12.
    •  
           
  8.  
  9.             5      Zostrojte vrchol. Vrchol paraboly bude v bode (h, k) - h udáva súradnicu x, k potom súradnicu y. Vrchol je centrálnym bodom paraboly - buď je úplne dole pri "U", alebo úplne hore u obráteného "U." Znalosť vrchole je pri presnom zostrojovaní paraboly úplne zásadné - v školských cvičeniach bude často nájdenie vrchole jednou z častí zadania. 
       
    • V príklade sa štandardným tvarom rovnica bude vrchol v bode (-4,7). Parabola teda bude vrcholiť 4 pole naľavo od 0 a 7 polí nad bodom (0,0). Tento bod si teda zaznačíme do grafu, a to vrátane označenia súradníc.
    •  
    • V príklade s vrcholovým tvarom rovnice bude vrchol v bode (5,12). Musíme preto vyznačiť bod 5 polí napravo a 12 polí nad (0,0).
    •  
           
  10.  
  11.             6      Nakreslite si osi paraboly (voliteľne). Os súmernosti paraboly je čiara prechádzajúcej jej stredom, ktorá delí parabolu na dokonale rovnaké polovice. Cez túto os bude ľavá strana paraboly zrkadliť pravú stranu. U kvadratickej rovnice vo forme ax + bx + c alebo a (x - h) + k je osou čiara rovnobežná s osou y (inak povedané, dokonale zvislá čiara) prechádzajúcej vrcholom. 
       
    • U príklade so štandardným tvarom rovnice je os rovnobežná s osou y a prechádza bodom (-4, 7). Hoci nie je os súčasť samotnej paraboly, keď si ju do grafu ľahko naznačíte, môže vám pomôcť sledovať symetrické zakrivenie paraboly.
    •  
           
  12.  
  13.             7      Zistite smer, ktorým sa parabola otvára. Keď ste určili vrchol a os paraboly, budete potrebovať zistiť, ako ďalšie musíte zistiť, či sa parabola otvára smerom nadol alebo nahor. To je našťastie ľahké. Ak je "a" kladné, parabola sa otvára nahor, ak je naopak "a" záporné, otvára sa parabola nadol (tzn. Je otočená hore nohami). 
       
    • V našom príklade štandardného tvaru (f (x) = 2x + 16x + 39) vidíme, že sa parabola otvára smerom nahor, pretože je a = 2 (kladné).
    •  
    • V príklade s vrcholovým tvarom rovnice (f (x) = 4 (x - 5) + 12) vidíme, že sa parabola otvára tiež nahor, pretože je a = 4 (tiež kladné).
    •  
           
  14.  
  15.             8      Ak je potrebné, zakreslite si prieniky s osou x. V školských úlohách budete mať často za úlohu nájsť prieniky paraboly s osou x (čo sú jeden alebo dva dva body, v ktorých parabola prechádza osou x). A aj keď je nájsť nemusíte, môžu byť tieto body neoceniteľné pre správne zostrojenie paraboly. Nie všetky paraboly však prieniky s osou x majú. Ak sa parabola otvára smerom nahor a má vrchol nad osou x, alebo sa otvára nadol a má vrchol pod osou x, potom žiadny prienik s osou x nemá . V ostatných prípadoch môžete prieniky nájsť pomocou jednej z nasledujúcich metód: 
       
    • Jednoducho položte f (x) = 0 a vyriešte rovnicu. Táto metóda môže byť vhodná pre riešenie jednoduchých kvadratických rovníc, zvlášť potom vo vrcholovom tvare. Pri riešení zložitejších rovníc sa však prejaví ako mimoriadne zložitá. Viďte príklad nižšie:  
         
      • f (x) = 4 (x - 12) - 4
      •  
      • 0 = 4 (x - 12) - 4
      •  
      • 4 = 4 (x - 12)  
      •  
      • 1 = (x - 12)  
      •  
      • sqrt (1) = (x - 12)
      •  
      • +/- 1 = x -12. x = 11 a 13 sú prieniky paraboly s osou x.
      •  
       
    •  
    • Rovnicu rozložte. Niektoré rovnica v tvare ax + bx + c je možné jednoducho rozložiť do formy (dx + e) ​​(fx + g), kde dx × fx = ax, (dx × g + fx × e) = bx ae × g = c. V tom prípade sú prieniky hodnoty x, pre ktoré platí, že je každý výraz v zátvorke = 0. Napríklad:  
         
      • x + 2x + 1
      •  
      • = (x + 1) (x + 1)
      •  
      • V tomto prípade je jediný prienik s osou x v bode -1, pretože práve položením x presne -1 bude každý z rozložených výrazov v zátvorkách rovný 0.
      •  
       
    •  
    • Využite vzorec pre výpočet koreňov kvadratickej rovnice. Ak nie je možné prieniky s osou x vyriešiť jednoducho ani rozkladom, použite špeciálne pre tento účel vytvorenú rovnicu - vzorec pre výpočet koreňov kvadratickej rovnice . Ak rovnicu nemáte v tvare ax + bx + c, preveďte ju do neho. Potom dosaďte a, b a c do vzorca x = (-b +/- sqrt (b - 4ac)) / 2a. Pamätajte, že takto často dostanete dva výsledky x, čo je v poriadku. Znamená to, len, že má parabola dva prieniky s osou x. Viďte príklad nižšie:  
         
      • -5x + 1x + 10 dosadíme do vzorca pre výpočet koreňov nasledujúcim spôsobom:
      •  
      • x = (-1 +/- sqrt (1 - 4 (-5) (10))) / 2 (-5)
      •  
      • x = (-1 +/- sqrt (1 + 200)) / - 10
      •  
      • x = (-1 +/- sqrt (201)) / - 10
      •  
      • x = (-1 +/- 14.18) / - 10
      •  
      • x = (13.18 / -10) a (-15.18 / -10). Prieniky paraboly s osou x sú teda zhruba v x = -1.318 a 1.518  
      •  
      • Náš predošlý príklad rovnice v štandardnom tvare (2x + 16x + 39) dosadíme do vzorca nasledujúcim spôsobom:
      •  
      • x = (-16 +/- sqrt (16 - 4 (2) (39))) / 2 (2)
      •  
      • x = (-16 +/- sqrt (256 - 312)) / 4
      •  
      • x = (-16 +/- sqrt (-56) / - 10
      •  
      • Pretože odmocnina (sqrt) zo záporného čísla neexistuje, vieme, že táto konkrétna parabola nemá žiadny prienik s osou x .
      •  
       
    •  
           
  16.  
  17.             9      Ak je potrebné, nájdite a zaznačte prieniky s osou y. Hoci nájsť prieniky rovnice s osou y (bod, v ktorom parabola prechádza cez os y) zvyčajne nie je nutné, môže to byť od vás požadované - najmä v škole. Postup nájdenie prienikov s y je vcelku jednoduchý - stačí položiť x = 0 a rovnicu vyriešiť, aby ste dostali f (x) čiže y. Tým získate hodnotu y, v ktorej parabola prechádza osou y. Na rozdiel od prienikov s osou x môže mať štandardný parabola s osou y iba jediný prienik. Poznámka - v štandardnom tvare rovnice je prienik s osou y v bode y = c.  
       
    • Napríklad vieme, že naše kvadratická rovnica 2x + 16x + 39 má prienik s osou y v y = 39. Nájsť ho môžeme nasledujúcim spôsobom:  
         
      • f (x) = 2x + 16x + 39
      •  
      • f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
      •  
      • f (x) = 39. Parabola prechádza osou y v y = 39. Ako bolo povedané vyššie, prienik s osou y je teda v y = c.
      •  
       
    •  
    • Prienik našej rovnice vo vrcholovom tvare 4 (x - 5) + 12 s osou y možno nájsť nasledujúcim spôsobom:  
         
      • f (x) = 4 (x - 5) + 12
      •  
      • f (x) = 4 (0 - 5) + 12
      •  
      • f (x) = 4 (-5) + 12
      •  
      • f (x) = 4 (25) + 12
      •  
      • f (x) = 112. Parabola prechádza osou y v y = 112.  
      •  
       
    •  
           
  18.  
  19.             10      Ak je potrebné, vyznačte si ďalšie body, a potom zostrojte graf. Teraz by ste mali u rovnice poznať vrchol, smer, prienik (y) s osou x, a pravdepodobne tiež prienik s osou y. V túto chvíľu sa môžete buď pokúsiť parabolu nakresliť s využitím bodov, ktoré poznáte a ktoré vás povedú, alebo môžete nájsť ďalšie body tak, aby parabolu "vyplnili" a nakreslená krivka bola presnejšia. Najjednoduchším spôsobom, ako to dosiahnuť, je dosadiť niekoľko hodnôt x z oboch strán od vrcholu, a tieto body následne zaznačiť s pomocou získané hodnoty y. Učitelia budú často trvať na tom, aby ste pred zostrojením paraboly poznali istý počet bodov. 
       
    • Vráťme sa k rovnicu x + 2x + 1. Už vieme, že jej jediný prienik s osou x leží v x = -1. Pretože sa rovnica iba dotýka osi x v jedinom bode, môžeme súdiť, že jej vrcholom je práve tento bod dotyku. Vrchol teda leží v (-1,0). Poznáme teda fakticky iba jediný bod paraboly - čo pre kvalitné zostrojenie paraboly zďaleka nestačí. Poďme teda nájsť niekoľko ďalších bodov, ktoré nám pomôžu nakresliť presný graf.  
         
      • Nájdime hodnoty y pre nasledujúce x: 0, 1, -2 a -3.
      •  
      • Pre 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. Bod leží v (0,1).  
      •  
      • Pro 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. Bod leží v (1,4).  
      •  
      • Pre -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. Bod leží v (-2,1).  
      •  
      • Pre -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. Bod leží v (-3,4).  
      •  
      • Zaneste tieto body do grafu a nakreslite krivku v tvare písmena U. Pamätajte, že parabola je dokonale symetrická - ak leží body na jednej strane v celých číslach, môžete si ušetriť prácu a preniesť ich zrkadlovo cez os súmernosti paraboly. Tak nájdete zodpovedajúce bod na náprotivnej strane paraboly.
      •  
       
    •  
                     
  20.  
             

Tipy .

              (1)      
Vzdelanie a Komunikácia populárne:
Ako napísať odsek.

Ako vo fyzike spočítať ťahovú silu.

Ako zistiť, či je číslo prvočíslom.

Ako si zmazať profil na Instagramu.

Ako si pripraviť a predniesť prejav.

Ako arabsky pozdraviť.

Ako získať 1000 followers na Instagramu.

Ako začať písať knihu.

Ako nájsť priateľov na Facebooku.

Ako mať dobré známky.

Ako prestať koktať.

Ako používať Instagram.

Ako analyzovať poéziu.

Ako napísať filmový scenár.

Ako sa pripojiť k Instagramu z počítača.

Ako sa rozlúčiť v rôznych jazykoch.

Ako zistiť, kto vás prestal sledovať na Instagramu.

Ako vytvoriť časovú os.

Ako rozlišovať druhy trojuholníkov.

Ako krásne písať.

Ako hovoriť kórejsky.